7ème année • السنة السابعة • Grade 7

Powers of Natural Numbers

قوى الأعداد الصحيحة الطبيعية • Puissances des nombres entiers naturels

Lesson 3 Unit 1

ما هي القوة؟

تخيل أن لدينا عملية الضرب التالية:

5 × 5 × 5 × 5

العدد 5 تكرر أربع مرات. بدل كتابة عملية الضرب الطويلة، يمكننا اختصارها هكذا:

5⁴

💡 الفكرة الأساسية القوة هي طريقة مختصرة لكتابة ضرب نفس العدد في نفسه عدة مرات.

1 ـ الأساس والأس

لنأخذ:

3⁴

العدد 3 يسمى الأساس.

العدد الصغير 4 يسمى الأس وهو يخبرنا بعدد مرات تكرار العامل.

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

⭐ تذكّر في aⁿ:

a = الأساس
n = الأس

2 ـ من الضرب إلى القوة

إذا رأينا:

7 × 7 × 7

نلاحظ أن العدد 7 تكرر ثلاث مرات.

7 × 7 × 7 = 7³

حدد العدد الذي يتكرر.

احسب عدد مرات تكراره.

اكتب العدد كأساس وعدد التكرارات كأس.

3 ـ القوة ذات الأس 1

إذا كان الأس يساوي 1، فالعدد لم يتكرر إلا مرة واحدة.

8¹ = 8

25¹ = 25

⭐ قاعدة لكل عدد طبيعي a:

a¹ = a

4 ـ القوة ذات أس 0

هناك قاعدة خاصة يجب أن نتذكرها:

7⁰ = 1

25⁰ = 1

100⁰ = 1

⭐ قاعدة مهمة قوة عدد صحيح طبيعي مخالف للصفر وأسها صفر تساوي 1.

a⁰ = 1 إذا كان a ≠ 0

5 ـ قوى العدد 10

قوى العدد 10 سهلة جدًا.

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

💡 الحيلة في قوة العدد 10، يخبرنا الأس بعدد الأصفار.

10⁵ = 100000

6 ـ ضرب قوتين لهما نفس الأساس

انظر:

2³ × 2⁴

= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2)

= 2⁷

لاحظ ماذا حدث للأسين:

3 + 4 = 7

⭐ القاعدة عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نجمع الأسين.

a^m × aⁿ = a^m+n

انتبه

⚠ خطأ شائع جدًا 3⁴ لا تعني:

3 × 4

بل تعني:

3 × 3 × 3 × 3

إذن:
3⁴ = 81 وليس 12.

جرّب بنفسك ـ 12 تمرينًا

🟢 تمرين 1

احسب:

2³ =

🟢 تمرين 2

احسب:

5² =

🟢 تمرين 3

احسب:

4³ =

🟢 تمرين 4

ما قيمة:

37¹ =

🟢 تمرين 5

ما قيمة:

12⁰ =

🟡 تمرين 6

احسب:

10⁴ =

🟡 تمرين 7

ما الأس الناقص؟

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3^?

🟡 تمرين 8

احسب:

2⁴ × 2³ =

🟡 تمرين 9

أوجد الأس الناقص:

5² × 5^? = 5⁶

🟠 تمرين 10

اكتب العدد التالي:

6 × 10³ =

🟠 تمرين 11

مربع طول ضلعه 7 m. احسب مساحته.

7² =

🔴 تمرين 12 ـ تحدّي

احسب بأيسر طريقة:

10² × 10³ × 10² =

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Considérons la multiplication :

5 × 5 × 5 × 5

Le nombre 5 apparaît quatre fois. Nous pouvons écrire plus simplement :

5⁴

💡 Idée principale Une puissance permet d'écrire plus simplement un produit dans lequel le même facteur est répété.

1 — Base et exposant

3⁴

3 est la base.

4 est l'exposant. Il indique combien de fois le facteur apparaît.

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

⭐ À retenir Dans aⁿ :

a = base
n = exposant

2 — Du produit à la puissance

7 × 7 × 7

Le facteur 7 apparaît trois fois.

7 × 7 × 7 = 7³

Repère le facteur répété.

Compte combien de fois il apparaît.

Écris la base et l'exposant.

3 — Exposant 1

8¹ = 8

25¹ = 25

⭐ Règle Pour tout nombre naturel a :

a¹ = a

4 — Exposant 0

7⁰ = 1

25⁰ = 1

100⁰ = 1

⭐ Règle importante Toute puissance d'un entier naturel non nul d'exposant zéro est égale à 1.

a⁰ = 1 pour a ≠ 0

5 — Puissances de 10

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

💡 Astuce Pour une puissance de 10, l'exposant indique le nombre de zéros.

10⁵ = 100000

6 — Produit de puissances de même base

2³ × 2⁴

= 2⁷

⭐ Règle Pour multiplier deux puissances de même base, on additionne les exposants.

a^m × aⁿ = a^m+n

Attention

⚠ Erreur fréquente 3⁴ ne signifie pas 3 × 4.

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

À toi de jouer — 12 exercices

🟢 Exercice 1

Calcule :

2³ =

🟢 Exercice 2

Calcule :

5² =

🟢 Exercice 3

Calcule :

4³ =

🟢 Exercice 4

Calcule :

37¹ =

🟢 Exercice 5

Calcule :

12⁰ =

🟡 Exercice 6

Calcule :

10⁴ =

🟡 Exercice 7

Trouve l'exposant manquant :

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3^?

🟡 Exercice 8

Calcule :

2⁴ × 2³ =

🟡 Exercice 9

Trouve l'exposant manquant :

5² × 5^? = 5⁶

🟠 Exercice 10

Écris le nombre :

6 × 10³ =

🟠 Exercice 11

Un carré possède un côté de 7 m. Calcule son aire.

7² =

🔴 Exercice 12 — Défi

Calcule de la manière la plus simple :

10² × 10³ × 10² =

What is a power?

Consider this multiplication:

5 × 5 × 5 × 5

The number 5 appears four times. Instead of writing the long multiplication, we can write:

5⁴

💡 Main idea A power is a shorter way of writing repeated multiplication by the same factor.

1 — Base and exponent

3⁴

3 is called the base.

4 is called the exponent. It tells us how many times the factor appears.

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

⭐ Remember In aⁿ:

a = base
n = exponent

2 — From multiplication to powers

7 × 7 × 7

The factor 7 appears three times.

7 × 7 × 7 = 7³

Find the repeated factor.

Count how many times it appears.

Write the factor as the base and the count as the exponent.

3 — Exponent 1

8¹ = 8

25¹ = 25

⭐ Rule For every natural number a:

a¹ = a

4 — Exponent 0

7⁰ = 1

25⁰ = 1

100⁰ = 1

⭐ Important rule Any non-zero natural number raised to the power zero equals 1.

a⁰ = 1 when a ≠ 0

5 — Powers of 10

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

💡 Trick For powers of 10, the exponent tells you how many zeros follow the 1.

10⁵ = 100000

6 — Multiplying powers with the same base

2³ × 2⁴

= 2⁷

⭐ Rule When multiplying powers with the same base, add the exponents.

a^m × aⁿ = a^m+n

Be careful

⚠ Common mistake 3⁴ does NOT mean 3 × 4.

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

Your turn — 12 exercises

🟢 Exercise 1

Calculate:

2³ =

🟢 Exercise 2

Calculate:

5² =

🟢 Exercise 3

Calculate:

4³ =

🟢 Exercise 4

Calculate:

37¹ =

🟢 Exercise 5

Calculate:

12⁰ =

🟡 Exercise 6

Calculate:

10⁴ =

🟡 Exercise 7

Find the missing exponent:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3^?

🟡 Exercise 8

Calculate:

2⁴ × 2³ =

🟡 Exercise 9

Find the missing exponent:

5² × 5^? = 5⁶

🟠 Exercise 10

Write the number:

6 × 10³ =

🟠 Exercise 11

A square has a side length of 7 m. Find its area.

7² =

🔴 Exercise 12 — Challenge

Calculate using the easiest method:

10² × 10³ × 10² =