7ème année • السنة السابعة • Grade 7

Divisors and Multiples

قواسم عدد صحيح طبيعي ومضاعفاته • Diviseurs et multiples d'un entier naturel

Lesson 4 Unit 1

1 ـ القسمة الإقليدية

لنبدأ بمثال بسيط.

لدينا 38 كرة ونريد وضعها في صناديق، في كل صندوق 5 كرات.

يمكننا ملء 7 صناديق:

5 × 7 = 35

38 - 35 = 3

إذن بقيت 3 كرات.

38 = 5 × 7 + 3

💡 هذه تسمى قسمة إقليدية 38 هو المقسوم.
5 هو المقسوم عليه.
7 هو خارج القسمة.
3 هو الباقي.

2 ـ قاعدة القسمة الإقليدية

المقسوم
=
المقسوم عليه × خارج القسمة + الباقي

مثال:

53 = 6 × 8 + 5

لأن:

6 × 8 = 48
48 + 5 = 53

3 ـ الباقي أصغر من المقسوم عليه

هناك شرط مهم جدًا.

⭐ قاعدة مهمة في القسمة الإقليدية يجب أن يكون:

0 ≤ الباقي < المقسوم عليه

مثال:

53 = 6 × 8 + 5

5 < 6 ✓

⚠ انتبه لا يمكننا أن نقول:

53 = 6 × 7 + 11

صحيح أن:
42 + 11 = 53

لكن 11 أكبر من 6. إذن هذه ليست القسمة الإقليدية المطلوبة.

4 ـ ماذا يحدث عندما يكون الباقي صفرًا؟

لنقسم 36 على 6.

36 = 6 × 6 + 0

هنا الباقي يساوي صفرًا.

لذلك نقول:

6 يقسم 36

6 قاسم لـ 36

36 مضاعف لـ 6

⭐ الفكرة الأساسية إذا كان باقي القسمة يساوي صفرًا، فإن المقسوم عليه قاسم للمقسوم.

5 ـ القاسم والمضاعف

لدينا:

7 × 8 = 56

من نفس العملية نستطيع أن نقول:

7 قاسم لـ 56

8 قاسم لـ 56

56 مضاعف لـ 7

56 مضاعف لـ 8

💡 طريقة سهلة للتذكر القاسم هو العدد الذي يقسم.

المضاعف هو العدد الذي نحصل عليه من عملية الضرب.

6 ـ كيف نجد قواسم عدد؟

لنبحث عن جميع قواسم العدد 18.

نبحث عن أزواج الأعداد التي حاصل ضربها 18.

1 × 18 = 18

2 × 9 = 18

3 × 6 = 18

إذن قواسم العدد 18 هي:

7 ـ قاعدتان يجب أن تعرفهما

⭐ القاعدة الأولى العدد 1 قاسم لكل عدد صحيح طبيعي.

مثال:
1 يقسم 27 لأن:
27 = 1 × 27

⭐ القاعدة الثانية كل عدد صحيح طبيعي غير صفر هو قاسم لنفسه.

مثال:
27 يقسم 27 لأن:
27 = 27 × 1

8 ـ كيف أعرف بسرعة؟

إذا سألك أحد:

هل 7 قاسم لـ 42؟

ابحث عن عدد طبيعي يجعل:

7 × ? = 42

نجد:

7 × 6 = 42

إذن نعم، 7 قاسم لـ 42.

انتبه

⚠ خطأ شائع من:

5 × 9 = 45

نقول:
5 قاسم لـ 45 ✓
9 قاسم لـ 45 ✓
45 مضاعف لـ 5 ✓
45 مضاعف لـ 9 ✓

لكن لا نقول:
45 قاسم لـ 5 ✗

جرّب بنفسك ـ 12 تمرينًا

🟢 تمرين 1

أوجد خارج القسمة:

23 = 5 × ? + 3

🟢 تمرين 2

أوجد الباقي:

38 = 7 × 5 + ?

🟢 تمرين 3

نقسم 41 على 6. ما خارج القسمة؟

🟢 تمرين 4

نقسم 41 على 6. ما الباقي؟

🟡 تمرين 5

هل 7 قاسم للعدد 42؟ اكتب 1 إذا كانت الإجابة نعم و0 إذا كانت لا.

🟡 تمرين 6

هل 5 قاسم للعدد 43؟ اكتب 1 إذا كانت الإجابة نعم و0 إذا كانت لا.

🟡 تمرين 7

أوجد العدد الناقص:

56 = 8 × ?

🟡 تمرين 8

قواسم العدد 18 هي: 1، 2، 3، 6، 9، 18. كم عددها؟

🟠 تمرين 9

ما أكبر قاسم للعدد 27؟

🟠 تمرين 10

لدينا 50 كرة ونضع 6 كرات في كل صندوق. كم صندوقًا كاملاً نستطيع ملأه؟

🟠 تمرين 11

في التمرين السابق، كم كرة تبقى خارج الصناديق؟

🔴 تمرين 12 ـ تحدّي

عدد أكبر من 20 وأصغر من 30. العدد 4 قاسم له والعدد 6 قاسم له أيضًا. ما هو هذا العدد؟

1 — La division euclidienne

Commençons par une situation simple.

Nous avons 38 balles et nous voulons les ranger dans des boîtes contenant 5 balles chacune.

5 × 7 = 35

38 - 35 = 3

Nous remplissons donc 7 boîtes et il reste 3 balles.

38 = 5 × 7 + 3

💡 C'est une division euclidienne 38 est le dividende.
5 est le diviseur.
7 est le quotient.
3 est le reste.

2 — La règle

Dividende
=
Diviseur × Quotient + Reste

Exemple :

53 = 6 × 8 + 5

3 — Le reste

⭐ Règle importante Dans une division euclidienne :

0 ≤ reste < diviseur

53 = 6 × 8 + 5

5 < 6 ✓

⚠ Attention 53 = 6 × 7 + 11

donne bien 53, mais 11 est supérieur au diviseur 6. Ce n'est donc pas la division euclidienne recherchée.

4 — Quand le reste vaut zéro

36 = 6 × 6 + 0

Le reste est zéro.

6 divise 36

6 est un diviseur de 36

36 est un multiple de 6

⭐ Idée fondamentale Si le reste est zéro, le diviseur est un diviseur du dividende.

5 — Diviseur et multiple

7 × 8 = 56

7 divise 56

8 divise 56

56 est multiple de 7

56 est multiple de 8

💡 Astuce Le diviseur est le nombre qui divise.

Le multiple est le nombre obtenu par multiplication.

6 — Trouver les diviseurs

Cherchons tous les diviseurs de 18.

1 × 18 = 18

2 × 9 = 18

3 × 6 = 18

Les diviseurs de 18 sont donc :

7 — Deux règles à connaître

⭐ Première règle 1 est un diviseur de tout entier naturel.

⭐ Deuxième règle Tout entier naturel non nul est un diviseur de lui-même.

8 — Comment vérifier rapidement ?

7 est-il un diviseur de 42 ?

7 × ? = 42

Or :

7 × 6 = 42

Donc 7 est bien un diviseur de 42.

Attention

⚠ Erreur fréquente 5 × 9 = 45

5 est un diviseur de 45 ✓
9 est un diviseur de 45 ✓
45 est un multiple de 5 ✓
45 est un multiple de 9 ✓

Mais 45 n'est pas un diviseur de 5.

À toi de jouer — 12 exercices

🟢 Exercice 1

Trouve le quotient :

23 = 5 × ? + 3

🟢 Exercice 2

Trouve le reste :

38 = 7 × 5 + ?

🟢 Exercice 3

On divise 41 par 6. Quel est le quotient ?

🟢 Exercice 4

On divise 41 par 6. Quel est le reste ?

🟡 Exercice 5

7 est-il un diviseur de 42 ? Écris 1 pour oui et 0 pour non.

🟡 Exercice 6

5 est-il un diviseur de 43 ? Écris 1 pour oui et 0 pour non.

🟡 Exercice 7

Trouve le nombre manquant :

56 = 8 × ?

🟡 Exercice 8

18 possède les diviseurs 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Combien en possède-t-il ?

🟠 Exercice 9

Quel est le plus grand diviseur de 27 ?

🟠 Exercice 10

50 balles sont placées dans des boîtes de 6. Combien de boîtes complètes peut-on remplir ?

🟠 Exercice 11

Dans l'exercice précédent, combien de balles restent ?

🔴 Exercice 12 — Défi

Un nombre est supérieur à 20 et inférieur à 30. 4 et 6 sont tous les deux des diviseurs de ce nombre. Quel est ce nombre ?

1 — Euclidean division

Let's begin with a simple situation.

We have 38 balls and want to put 5 balls in each box.

5 × 7 = 35

38 - 35 = 3

We can fill 7 boxes and 3 balls remain.

38 = 5 × 7 + 3

💡 This is Euclidean division 38 is the dividend.
5 is the divisor.
7 is the quotient.
3 is the remainder.

2 — The rule

Dividend
=
Divisor × Quotient + Remainder

Example:

53 = 6 × 8 + 5

3 — The remainder

⭐ Important rule In Euclidean division:

0 ≤ remainder < divisor

53 = 6 × 8 + 5

5 < 6 ✓

⚠ Be careful 53 = 6 × 7 + 11

does equal 53, but 11 is greater than the divisor 6. Therefore this is not the required Euclidean division.

4 — When the remainder is zero

36 = 6 × 6 + 0

The remainder is zero.

6 divides 36

6 is a divisor of 36

36 is a multiple of 6

⭐ Main idea If the remainder is zero, the divisor is a divisor of the dividend.

5 — Divisor and multiple

7 × 8 = 56

7 divides 56

8 divides 56

56 is a multiple of 7

56 is a multiple of 8

💡 Easy way to remember A divisor is a number that divides another number exactly.

A multiple is obtained by multiplication.

6 — Finding the divisors

Let's find all the divisors of 18.

1 × 18 = 18

2 × 9 = 18

3 × 6 = 18

The divisors of 18 are:

7 — Two rules to know

⭐ First rule 1 is a divisor of every natural number.

⭐ Second rule Every non-zero natural number is a divisor of itself.

8 — How can we check quickly?

Is 7 a divisor of 42?

7 × ? = 42

We know:

7 × 6 = 42

So yes, 7 is a divisor of 42.

Be careful

⚠ Common mistake 5 × 9 = 45

5 is a divisor of 45 ✓
9 is a divisor of 45 ✓
45 is a multiple of 5 ✓
45 is a multiple of 9 ✓

But 45 is NOT a divisor of 5.

Your turn — 12 exercises

🟢 Exercise 1

Find the quotient:

23 = 5 × ? + 3

🟢 Exercise 2

Find the remainder:

38 = 7 × 5 + ?

🟢 Exercise 3

Divide 41 by 6. What is the quotient?

🟢 Exercise 4

Divide 41 by 6. What is the remainder?

🟡 Exercise 5

Is 7 a divisor of 42? Enter 1 for yes and 0 for no.

🟡 Exercise 6

Is 5 a divisor of 43? Enter 1 for yes and 0 for no.

🟡 Exercise 7

Find the missing number:

56 = 8 × ?

🟡 Exercise 8

18 has the divisors 1, 2, 3, 6, 9 and 18. How many divisors does it have?

🟠 Exercise 9

What is the greatest divisor of 27?

🟠 Exercise 10

50 balls are packed into boxes of 6. How many complete boxes can be filled?

🟠 Exercise 11

In the previous exercise, how many balls remain outside the boxes?

🔴 Exercise 12 — Challenge

A number is greater than 20 and less than 30. Both 4 and 6 are divisors of this number. What is the number?