7ème année • السنة السابعة • Grade 7

Prime Numbers

الأعداد الأولية • Les nombres premiers

Lesson 6 Unit 1
1 ـ ما هو العدد الأولي؟

لنبدأ بالعدد 7.

نبحث عن جميع الأعداد الطبيعية التي تقسم 7 دون باقي.

1
7

لا يوجد غيرهما.

قواسم 7 هي 1 و7 فقط

لذلك نقول إن 7 عدد أولي.

⭐ التعريف العدد الأولي هو عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 ولا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه.
2 ـ مثال على عدد غير أولي

لنأخذ العدد 12.

1
2
3
4
6
12

للعدد 12 قواسم أخرى غير 1 و12.

12 = 3 × 4

إذن 12 ليس عددًا أوليًا.

3 ـ هل العدد 1 أولي؟

قد يبدو أن العدد 1 عدد أولي، لكنه ليس كذلك.

⚠ انتبه جيدًا العدد الأولي يجب أن يكون أكبر من 1.

إذن:

1 ليس عددًا أوليًا.
4 ـ العدد 2

قواسم العدد 2 هي:

1
2

إذن 2 عدد أولي.

⭐ معلومة مهمة العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.

كل عدد زوجي أكبر من 2 يقبل القسمة على 2، ولذلك لا يمكن أن يكون أوليًا.
5 ـ كيف نعرف أن عددًا ليس أوليًا؟

لا نحتاج دائمًا إلى إيجاد جميع القواسم.

يكفي أن نجد قاسمًا واحدًا غير 1 والعدد نفسه.

مثلاً:

35 = 5 × 7

وجدنا أن 5 يقسم 35.

إذن 35 ليس عددًا أوليًا.

💡 فكرة سهلة إذا استطعت كتابة العدد كحاصل ضرب عددين أكبر من 1، فهو ليس عددًا أوليًا.
6 ـ غربال إراتوستين

كيف نجد الأعداد الأولية الأصغر من 100؟

نستعمل طريقة تسمى غربال إراتوستين.

1
نشطب العدد 1 لأنه ليس أوليًا.
2
نحتفظ بـ 2 ونشطب مضاعفاته الأكبر منه.
3
نواصل بنفس الطريقة مع الأعداد التي لم تُشطب.

الأعداد التي تبقى هي الأعداد الأولية.

7 ـ الأعداد الأولية الأصغر من 100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
💡 لا تحفظها كلها دفعة واحدة المهم أولاً أن تفهم معنى العدد الأولي وكيف تتحقق منه.
8 ـ مثال كامل

هل 29 عدد أولي؟

29 لا يقبل القسمة على 2.

ولا يقبل القسمة على 3.

ولا يقبل القسمة على 5.

ولا نجد له قاسمًا آخر غير 1 و29.

29 عدد أولي ✓
9 ـ القواسم الأولية

قد يكون العدد نفسه غير أولي، ولكن بعض قواسمه أعداد أولية.

مثلاً قواسم العدد 30 هي:

1
2
3
5
6
10
15
30

ومن بينها الأعداد الأولية:

2
3
5

إذن 2 و3 و5 هي القواسم الأولية للعدد 30.

جرّب بنفسك ـ 12 تمرينًا
🟢 تمرين 1

هل العدد 7 أولي؟ اكتب 1 لنعم و0 للا.

🟢 تمرين 2

هل العدد 12 أولي؟ اكتب 1 لنعم و0 للا.

🟢 تمرين 3

ما أصغر عدد أولي؟

🟢 تمرين 4

هل العدد 1 أولي؟ اكتب 1 لنعم و0 للا.

🟡 تمرين 5

هل العدد 23 أولي؟ اكتب 1 لنعم و0 للا.

🟡 تمرين 6

هل العدد 27 أولي؟ اكتب 1 لنعم و0 للا.

🟡 تمرين 7

كم عددًا أوليًا يوجد بين 1 و10؟

🟡 تمرين 8

ما العدد الأولي الوحيد الزوجي؟

🟠 تمرين 9

من الأعداد 31، 33، 35، 39 يوجد عدد أولي واحد. ما هو؟

🟠 تمرين 10

العدد 49 ليس أوليًا. اكتب أصغر قاسم له أكبر من 1.

🟠 تمرين 11

كم عددًا أوليًا يوجد بين 10 و20؟

🔴 تمرين 12 ـ تحدّي

أنا عدد أولي أكبر من 40 وأصغر من 50. مجموع رقمي يساوي 7. من أنا؟

1 — Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Commençons par le nombre 7.

Cherchons tous ses diviseurs.

1
7

Il n'en possède pas d'autres.

Les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7

Donc 7 est un nombre premier.

⭐ Définition Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même.
2 — Un nombre non premier

Prenons 12.

1
2
3
4
6
12

12 possède d'autres diviseurs que 1 et 12.

12 = 3 × 4

Donc 12 n'est pas premier.

3 — Le nombre 1 est-il premier ?
⚠ Attention Un nombre premier doit être supérieur à 1.

Donc 1 n'est pas un nombre premier.
4 — Le nombre 2

Les diviseurs de 2 sont :

1
2
⭐ À retenir 2 est le seul nombre premier pair.

Tout nombre pair supérieur à 2 est divisible par 2 et n'est donc pas premier.
5 — Reconnaître un nombre non premier

Il suffit parfois de trouver un seul diviseur différent de 1 et du nombre lui-même.

35 = 5 × 7

5 divise 35.

Donc 35 n'est pas premier.

💡 Astuce Si un nombre peut être écrit comme le produit de deux entiers supérieurs à 1, il n'est pas premier.
6 — Le crible d'Ératosthène

Pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100, on peut utiliser le crible d'Ératosthène.

1
On élimine 1 car il n'est pas premier.
2
On garde 2 et on élimine ses multiples supérieurs à 2.
3
On continue avec les nombres non éliminés.

Les nombres qui restent sont premiers.

7 — Nombres premiers inférieurs à 100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
💡 Conseil Ne cherche pas à mémoriser toute la liste immédiatement. Comprends d'abord comment reconnaître un nombre premier.
8 — Exemple

29 est-il premier ?

29 n'est pas divisible par 2, 3 ou 5 et ne possède aucun autre diviseur que 1 et 29.

29 est premier ✓
9 — Les diviseurs premiers

Un nombre peut ne pas être premier tout en ayant des diviseurs qui sont premiers.

Les diviseurs de 30 sont :

1
2
3
5
6
10
15
30

Parmi eux, les nombres premiers sont :

2
3
5

2, 3 et 5 sont donc les diviseurs premiers de 30.

À toi de jouer — 12 exercices
🟢 Exercice 1

7 est-il premier ? Écris 1 pour oui et 0 pour non.

🟢 Exercice 2

12 est-il premier ? Écris 1 pour oui et 0 pour non.

🟢 Exercice 3

Quel est le plus petit nombre premier ?

🟢 Exercice 4

1 est-il premier ? Écris 1 pour oui et 0 pour non.

🟡 Exercice 5

23 est-il premier ? Écris 1 pour oui et 0 pour non.

🟡 Exercice 6

27 est-il premier ? Écris 1 pour oui et 0 pour non.

🟡 Exercice 7

Combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et 10 ?

🟡 Exercice 8

Quel est le seul nombre premier pair ?

🟠 Exercice 9

Parmi 31, 33, 35 et 39, quel nombre est premier ?

🟠 Exercice 10

49 n'est pas premier. Quel est son plus petit diviseur supérieur à 1 ?

🟠 Exercice 11

Combien y a-t-il de nombres premiers entre 10 et 20 ?

🔴 Exercice 12 — Défi

Je suis un nombre premier supérieur à 40 et inférieur à 50. La somme de mes chiffres est 7. Qui suis-je ?

1 — What is a prime number?

Let's begin with 7.

Find all the natural numbers that divide 7 exactly.

1
7

There are no others.

The only divisors of 7 are 1 and 7

Therefore 7 is a prime number.

⭐ Definition A prime number is a natural number greater than 1 that is divisible only by 1 and itself.
2 — A non-prime number

Consider 12.

1
2
3
4
6
12

12 has divisors other than 1 and 12.

12 = 3 × 4

Therefore 12 is not prime.

3 — Is 1 a prime number?
⚠ Be careful A prime number must be greater than 1.

Therefore 1 is not prime.
4 — The number 2

The divisors of 2 are:

1
2
⭐ Remember 2 is the only even prime number.

Every even number greater than 2 is divisible by 2, so it cannot be prime.
5 — Recognizing a non-prime number

We don't always need to find every divisor.

Finding just one divisor other than 1 and the number itself is enough to prove that the number is not prime.

35 = 5 × 7

5 divides 35.

Therefore 35 is not prime.

💡 Easy idea If a number can be written as a product of two natural numbers greater than 1, it is not prime.
6 — The Sieve of Eratosthenes

To find the prime numbers below 100, we can use the Sieve of Eratosthenes.

1
Cross out 1 because it is not prime.
2
Keep 2 and cross out its multiples greater than 2.
3
Continue with the numbers that have not been crossed out.

The numbers left are prime numbers.

7 — Prime numbers below 100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
💡 Tip Don't try to memorize the entire list immediately. First understand what makes a number prime and how to check it.
8 — Example

Is 29 prime?

29 is not divisible by 2, 3 or 5, and it has no divisor other than 1 and 29.

29 is prime ✓
9 — Prime divisors

A number does not need to be prime to have divisors that are prime.

The divisors of 30 are:

1
2
3
5
6
10
15
30

The prime divisors among them are:

2
3
5

Therefore 2, 3 and 5 are the prime divisors of 30.

Your turn — 12 exercises
🟢 Exercise 1

Is 7 prime? Enter 1 for yes and 0 for no.

🟢 Exercise 2

Is 12 prime? Enter 1 for yes and 0 for no.

🟢 Exercise 3

What is the smallest prime number?

🟢 Exercise 4

Is 1 prime? Enter 1 for yes and 0 for no.

🟡 Exercise 5

Is 23 prime? Enter 1 for yes and 0 for no.

🟡 Exercise 6

Is 27 prime? Enter 1 for yes and 0 for no.

🟡 Exercise 7

How many prime numbers are there between 1 and 10?

🟡 Exercise 8

What is the only even prime number?

🟠 Exercise 9

Among 31, 33, 35 and 39, which number is prime?

🟠 Exercise 10

49 is not prime. What is its smallest divisor greater than 1?

🟠 Exercise 11

How many prime numbers are there between 10 and 20?

🔴 Exercise 12 — Challenge

I am a prime number greater than 40 and less than 50. The sum of my digits is 7. What number am I?