7ème année • السنة السابعة • Grade 7

Prime Factorization

تفكيك عدد إلى جذاء عوامل أولية • Décomposition en facteurs premiers

Lesson 7 Unit 1
1 ـ ما معنى تفكيك عدد؟

لنفكر في العدد 42.

يمكننا كتابته بعدة طرق:

42 = 2 × 21

42 = 3 × 14

42 = 6 × 7

لكن هذه العمليات لا تحتوي كلها على أعداد أولية فقط.

نستطيع متابعة التفكيك:

42 = 2 × 3 × 7

والأعداد 2 و3 و7 كلها أعداد أولية.

⭐ الفكرة الأساسية تفكيك عدد إلى جذاء عوامل أولية يعني كتابته في شكل حاصل ضرب أعداد أولية فقط.
2 ـ مثال آخر

لنأخذ العدد 30.

30 = 5 × 6

5 أولي، لكن 6 ليس أوليًا.

نفكك 6:

6 = 2 × 3

إذن:

30 = 2 × 3 × 5
✓ انتهينا 2 و3 و5 كلها أعداد أولية.
3 ـ طريقة القسمة المتتالية

لنفكك العدد 72.

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

نقرأ الأعداد التي قسمنا عليها:

2
2
2
3
3

إذن:

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
4 ـ كيف أبدأ؟
1
ابدأ بأصغر عدد أولي يقسم العدد.
2
اقسم وكرر العملية مع الناتج.
3
توقف عندما تصل إلى 1.
💡 ترتيب عملي جرّب عادة:

2 ← 3 ← 5 ← 7 ← 11 ...
5 ـ استعمال القوى

لدينا:

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

العدد 2 تكرر ثلاث مرات، والعدد 3 تكرر مرتين.

إذن يمكننا الكتابة بشكل أقصر:

72 = 23 × 32
⭐ تذكّر درس القوى 2 × 2 × 2 = 23

3 × 3 = 32
6 ـ كيف أتحقق من إجابتي؟

بعد التفكيك، اضرب العوامل من جديد.

23 × 32

= 8 × 9

= 72

حصلنا على العدد الأصلي.

✓ إذن التفكيك صحيح 72 = 23 × 32
7 ـ متى أتوقف؟

انظر إلى:

60 = 2 × 30

لا نتوقف هنا، لأن 30 ليس عددًا أوليًا.

60 = 2 × 2 × 15

ولا نتوقف أيضًا، لأن 15 ليس أوليًا.

60 = 2 × 2 × 3 × 5

الآن جميع العوامل أولية.

⚠ الخطأ الشائع لا تتوقف عندما تحصل على حاصل ضرب فقط. توقف عندما تكون جميع العوامل أعدادًا أولية.
8 ـ التفكيك والمربع الكامل

يمكن أن يساعدنا التفكيك على معرفة إن كان العدد مربع عدد طبيعي.

مثلاً:

144 = 24 × 32

جميع الأسس زوجية.

144 = (22 × 3)2 = 122
💡 ملاحظة مفيدة إذا كان تفكيك عدد إلى عوامل أولية يحتوي على أسس زوجية، فيمكن أن يكون مربعًا كاملاً.
9 ـ مثال كامل

فكك العدد 90.

90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1

إذن:

90 = 2 × 3 × 3 × 5

90 = 2 × 32 × 5
جرّب بنفسك ـ 12 تمرينًا
🟢 تمرين 1

أكمل:

18 = 2 × ?

🟢 تمرين 2

أكمل:

18 = 2 × 3 × ?

🟢 تمرين 3

ما أصغر عامل أولي للعدد 28؟

🟢 تمرين 4

أكمل التفكيك:

28 = 2 × 2 × ?

🟡 تمرين 5

فكك 45. ما العامل الأولي الذي يتكرر مرتين؟

🟡 تمرين 6

لدينا:

40 = 2? × 5

ما الأس الناقص؟

🟡 تمرين 7

لدينا:

75 = 3 × 5?

ما الأس الناقص؟

🟡 تمرين 8

احسب قيمة:

23 × 3 × 5

🟠 تمرين 9

تفكيك العدد 84 هو:

84 = 22 × 3 × ?

أوجد العامل الناقص.

🟠 تمرين 10

فكك العدد 100. ما أس العدد 2 في التفكيك؟

🟠 تمرين 11

لدينا:

225 = 32 × 52

ما طول ضلع مربع مساحته 225؟

🔴 تمرين 12 ـ تحدّي

عدد تفكيكه إلى عوامل أولية هو:

23 × 32 × 5

ما هو العدد؟

1 — Que signifie décomposer un nombre ?

Prenons le nombre 42.

On peut l'écrire de plusieurs façons :

42 = 2 × 21

42 = 3 × 14

42 = 6 × 7

Mais tous les facteurs ne sont pas encore premiers.

Nous pouvons continuer :

42 = 2 × 3 × 7

2, 3 et 7 sont tous des nombres premiers.

⭐ Idée principale Décomposer un nombre en facteurs premiers signifie l'écrire sous la forme d'un produit contenant uniquement des nombres premiers.
2 — Un autre exemple

Prenons 30.

30 = 5 × 6

5 est premier mais 6 ne l'est pas.

6 = 2 × 3

Donc :

30 = 2 × 3 × 5
✓ Terminé 2, 3 et 5 sont tous premiers.
3 — Divisions successives

Décomposons 72.

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

Les facteurs utilisés sont :

2
2
2
3
3
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
4 — Comment commencer ?
1
Commence par le plus petit nombre premier qui divise le nombre.
2
Divise puis recommence avec le quotient.
3
Arrête lorsque tu obtiens 1.
💡 Ordre pratique Teste généralement :

2 → 3 → 5 → 7 → 11 ...
5 — Utiliser les puissances
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

2 apparaît trois fois et 3 apparaît deux fois.

Nous pouvons donc écrire :

72 = 23 × 32
6 — Vérifier

Multiplions les facteurs :

23 × 32

= 8 × 9

= 72
✓ La décomposition est correcte 72 = 23 × 32
7 — Quand faut-il s'arrêter ?
60 = 2 × 30

30 n'est pas premier, donc nous continuons.

60 = 2 × 2 × 15

15 n'est toujours pas premier.

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Maintenant tous les facteurs sont premiers.

⚠ Erreur fréquente Ne t'arrête pas simplement lorsque tu obtiens un produit. Tu dois continuer jusqu'à ce que tous les facteurs soient premiers.
8 — Factorisation et carré parfait
144 = 24 × 32

Tous les exposants sont pairs.

144 = (22 × 3)2 = 122
💡 Remarque utile Une décomposition en facteurs premiers avec des exposants pairs peut permettre de reconnaître un carré parfait.
9 — Exemple complet

Décomposons 90.

90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
90 = 2 × 3 × 3 × 5

90 = 2 × 32 × 5
À toi de jouer — 12 exercices
🟢 Exercice 1

Complète :

18 = 2 × ?

🟢 Exercice 2

Complète :

18 = 2 × 3 × ?

🟢 Exercice 3

Quel est le plus petit facteur premier de 28 ?

🟢 Exercice 4

Complète :

28 = 2 × 2 × ?

🟡 Exercice 5

Dans la décomposition de 45, quel facteur premier apparaît deux fois ?

🟡 Exercice 6

Complète :

40 = 2? × 5

🟡 Exercice 7

Complète :

75 = 3 × 5?

🟡 Exercice 8

Calcule :

23 × 3 × 5 =
🟠 Exercice 9

Complète :

84 = 22 × 3 × ?

🟠 Exercice 10

Dans la décomposition de 100, quel est l'exposant de 2 ?

🟠 Exercice 11

225 = 32 × 52. Quel est le côté d'un carré d'aire 225 ?

🔴 Exercice 12 — Défi

Quel nombre possède la décomposition :

23 × 32 × 5

1 — What does factorization mean?

Consider the number 42.

It can be written in several ways:

42 = 2 × 21

42 = 3 × 14

42 = 6 × 7

But not all of these factors are prime.

We can continue:

42 = 2 × 3 × 7

2, 3 and 7 are all prime numbers.

⭐ Main idea Prime factorization means writing a number as a product containing only prime numbers.
2 — Another example

Consider 30.

30 = 5 × 6

5 is prime, but 6 is not.

6 = 2 × 3

Therefore:

30 = 2 × 3 × 5
✓ Finished 2, 3 and 5 are all prime.
3 — Successive division

Let's factorize 72.

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

The prime factors used are:

2
2
2
3
3
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
4 — How do we begin?
1
Start with the smallest prime that divides the number.
2
Divide and repeat with the quotient.
3
Stop when you reach 1.
💡 Useful order Usually test:

2 → 3 → 5 → 7 → 11 ...
5 — Using powers
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

2 appears three times and 3 appears twice.

72 = 23 × 32
⭐ Remember powers 2 × 2 × 2 = 23

3 × 3 = 32
6 — Checking the answer

Multiply the factors again.

23 × 32

= 8 × 9

= 72
✓ Correct factorization 72 = 23 × 32
7 — When should we stop?
60 = 2 × 30

30 is not prime, so continue.

60 = 2 × 2 × 15

15 is still not prime.

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Now all factors are prime.

⚠ Common mistake Do not stop just because you have a multiplication. Continue until every factor is prime.
8 — Factorization and perfect squares
144 = 24 × 32

All exponents are even.

144 = (22 × 3)2 = 122
💡 Useful observation Prime factorization with even exponents can help us recognize a perfect square.
9 — Full example

Factorize 90.

90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
90 = 2 × 3 × 3 × 5

90 = 2 × 32 × 5
Your turn — 12 exercises
🟢 Exercise 1

Complete:

18 = 2 × ?

🟢 Exercise 2

Complete:

18 = 2 × 3 × ?

🟢 Exercise 3

What is the smallest prime factor of 28?

🟢 Exercise 4

Complete:

28 = 2 × 2 × ?

🟡 Exercise 5

In the prime factorization of 45, which prime factor appears twice?

🟡 Exercise 6

Complete:

40 = 2? × 5

🟡 Exercise 7

Complete:

75 = 3 × 5?

🟡 Exercise 8

Calculate:

23 × 3 × 5 =
🟠 Exercise 9

Complete:

84 = 22 × 3 × ?

🟠 Exercise 10

In the prime factorization of 100, what is the exponent of 2?

🟠 Exercise 11

225 = 32 × 52. What is the side length of a square with area 225?

🔴 Exercise 12 — Challenge

Which number has the prime factorization:

23 × 32 × 5