7ème année • السنة السابعة • Grade 7

Least Common Multiple

المضاعف المشترك الأصغر • Plus Petit Commun Multiple • LCM

Lesson 9 Unit 1
1 ـ ما هو مضاعف عدد؟

لنأخذ العدد 6.

نضرب 6 في الأعداد الصحيحة الطبيعية:

6 × 0 = 0
6 × 1 = 6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30

إذن من مضاعفات العدد 6:

0
6
12
18
24
30
⭐ تذكّر إذا كان عدد ما يساوي حاصل ضرب عدد صحيح طبيعي في عدد آخر، فهو مضاعف لذلك العدد.
2 ـ المضاعفات المشتركة

لنبحث عن مضاعفات العددين 4 و6.

مضاعفات 4:

0
4
8
12
16
20
24

مضاعفات 6:

0
6
12
18
24
30
36

12 و24 و36 ... هي مضاعفات مشتركة للعددين 4 و6.

⭐ المضاعف المشترك العدد الذي يكون مضاعفًا للعدد الأول وفي الوقت نفسه مضاعفًا للعدد الثاني يسمى مضاعفًا مشتركًا.
3 ـ المضاعف المشترك الأصغر

المضاعفات المشتركة الموجبة للعددين 4 و6 تبدأ بـ:

12
24
36
48

أصغر واحد منها هو 12.

م.م.أ (4 ، 6) = 12
⭐ التعريف المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين مخالفين للصفر هو أصغر مضاعف مشترك لهما مخالف للصفر.
4 ـ الطريقة الأولى: كتابة المضاعفات

لنحسب:

م.م.أ (8 ، 12)

مضاعفات 8:

8
16
24
32
40
48

مضاعفات 12:

12
24
36
48

أول مضاعف موجب يظهر في القائمتين هو 24.

م.م.أ (8 ، 12) = 24
5 ـ خطوات الطريقة
1
اكتب مضاعفات العدد الأول بالترتيب.
2
اكتب مضاعفات العدد الثاني.
3
اختر أصغر مضاعف موجب مشترك.
⚠ انتبه الصفر مضاعف لكل عدد، لكننا نبحث عن أصغر مضاعف مشترك مخالف للصفر.
6 ـ حالة مهمة جدًا

لنحسب:

م.م.أ (6 ، 24)

نلاحظ أن:

24 = 6 × 4

إذن 24 هو مضاعف للعدد 6.

وفي هذه الحالة:

م.م.أ (6 ، 24) = 24
⭐ قاعدة مفيدة إذا كان أحد العددين مضاعفًا للعدد الآخر، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهما هو العدد الأكبر.
7 ـ الطريقة الثانية: التفكيك إلى عوامل أولية

لنحسب:

م.م.أ (18 ، 24)

نفكك العددين إلى عوامل أولية:

18 = 2 × 32

24 = 23 × 3

لدينا العاملان الأوليان 2 و3.

لكن هذه المرة لا نأخذ أصغر الأسس كما فعلنا في القاسم المشترك الأكبر.

نأخذ أكبر أس لكل عامل أولي.

8 ـ نأخذ أكبر الأسس

لدينا:

18 = 21 × 32

24 = 23 × 31

بالنسبة للعامل 2:

أكبر أس هو 3

وبالنسبة للعامل 3:

أكبر أس هو 2

إذن:

م.م.أ (18 ، 24)
= 23 × 32
= 8 × 9
= 72
⭐ القاعدة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالتفكيك: نأخذ العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة مع أكبر أس يظهر لكل عامل.
9 ـ متى نحتاج المضاعف المشترك الأصغر؟

إشارتان ضوئيتان بدأتا في نفس اللحظة.

الإشارة الأولى تضيء كل 8 ثوانٍ، والثانية كل 12 ثانية.

بعد كم ثانية ستضيئان معًا مرة أخرى؟

أوقات الإشارة الأولى:

8
16
24
32

أوقات الإشارة الثانية:

12
24
36
م.م.أ (8 ، 12) = 24
✓ الجواب ستضيء الإشارتان معًا بعد 24 ثانية.
جرّب بنفسك ـ 12 تمرينًا
🟢 تمرين 1

ما أصغر مضاعف موجب للعدد 7؟

🟢 تمرين 2

ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و3؟

🟢 تمرين 3

ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و6؟

🟢 تمرين 4

ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و10؟

🟡 تمرين 5

ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 8 و12؟

🟡 تمرين 6

ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 9 و15؟

🟡 تمرين 7

إذا كان أحد العددين 7 والآخر 28، فما المضاعف المشترك الأصغر لهما؟

🟡 تمرين 8

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²

أوجد م.م.أ (12 ، 18).

🟠 تمرين 9

20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5

أوجد المضاعف المشترك الأصغر.

🟠 تمرين 10

24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²

أوجد المضاعف المشترك الأصغر.

🟠 تمرين 11

حافلة تمر بمحطة كل 12 دقيقة، وحافلة أخرى تمر بها كل 18 دقيقة. مرّتا معًا الآن. بعد كم دقيقة ستمرّان معًا مرة أخرى؟

🔴 تمرين 12 ـ تحدّي

ثلاث إشارات تبدأ في نفس اللحظة. تتكرر الأولى كل 6 ثوانٍ، والثانية كل 8 ثوانٍ، والثالثة كل 12 ثانية. بعد كم ثانية ستحدث الإشارات الثلاث معًا مرة أخرى؟

1 — Qu'est-ce qu'un multiple ?

Prenons le nombre 6.

6 × 0 = 0
6 × 1 = 6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30

Quelques multiples de 6 sont donc :

0
6
12
18
24
30
⭐ À retenir Si un nombre est le produit d'un entier naturel par un autre nombre, alors il est un multiple de ce nombre.
2 — Multiples communs

Cherchons les multiples de 4 et de 6.

Multiples de 4 :

0
4
8
12
16
20
24

Multiples de 6 :

0
6
12
18
24
30
36

12, 24, 36... sont des multiples communs de 4 et 6.

3 — Le PPCM

Les premiers multiples communs positifs de 4 et 6 sont :

12
24
36
48

Le plus petit est 12.

PPCM(4,6) = 12
⭐ Définition Le Plus Petit Commun Multiple de deux entiers naturels non nuls est leur plus petit multiple commun différent de zéro.
4 — Première méthode : écrire les multiples

Calculons PPCM(8,12).

Multiples de 8 :

8
16
24
32
40
48

Multiples de 12 :

12
24
36
48
PPCM(8,12) = 24
5 — Les étapes
1
Écris les multiples du premier nombre.
2
Écris les multiples du deuxième nombre.
3
Choisis le plus petit multiple commun positif.
⚠ Attention 0 est un multiple de tout nombre, mais le PPCM est le plus petit multiple commun différent de zéro.
6 — Cas important

Calculons PPCM(6,24).

24 = 6 × 4

24 est donc déjà un multiple de 6.

PPCM(6,24) = 24
⭐ Règle utile Si l'un des deux nombres est un multiple de l'autre, leur PPCM est le plus grand des deux nombres.
7 — Décomposition en facteurs premiers

Calculons PPCM(18,24).

18 = 2 × 32

24 = 23 × 3

Pour le PPCM, nous prenons tous les facteurs premiers nécessaires avec leur plus grand exposant.

8 — Prendre le plus grand exposant
18 = 21 × 32

24 = 23 × 31

Pour 2, le plus grand exposant est 3.

Pour 3, le plus grand exposant est 2.

PPCM(18,24)
= 23 × 32
= 72
⭐ Règle On prend les facteurs premiers communs et non communs avec le plus grand exposant de chacun.
9 — Quand utiliser le PPCM ?

Deux signaux lumineux commencent ensemble.

Le premier apparaît toutes les 8 secondes et le deuxième toutes les 12 secondes.

Après combien de secondes apparaîtront-ils ensemble de nouveau ?

PPCM(8,12) = 24
✓ Réponse Les deux signaux apparaîtront ensemble après 24 secondes.
À toi de jouer — 12 exercices
🟢 Exercice 1

Quel est le plus petit multiple positif de 7 ?

🟢 Exercice 2

PPCM(2,3) = ?

🟢 Exercice 3

PPCM(4,6) = ?

🟢 Exercice 4

PPCM(5,10) = ?

🟡 Exercice 5

PPCM(8,12) = ?

🟡 Exercice 6

PPCM(9,15) = ?

🟡 Exercice 7

PPCM(7,28) = ?

🟡 Exercice 8

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²

Calcule PPCM(12,18).

🟠 Exercice 9

20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5

Calcule le PPCM.

🟠 Exercice 10

24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²

Calcule le PPCM.

🟠 Exercice 11

Un bus passe toutes les 12 minutes et un autre toutes les 18 minutes. Ils passent ensemble maintenant. Après combien de minutes passeront-ils ensemble de nouveau ?

🔴 Exercice 12 — Défi

Trois signaux commencent ensemble. Ils se répètent respectivement toutes les 6, 8 et 12 secondes. Après combien de secondes apparaîtront-ils ensemble de nouveau ?

1 — What is a multiple?

Consider the number 6.

6 × 0 = 0
6 × 1 = 6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30

Some multiples of 6 are therefore:

0
6
12
18
24
30
⭐ Remember If a number is obtained by multiplying another number by a natural number, it is a multiple of that number.
2 — Common multiples

Consider the multiples of 4 and 6.

Multiples of 4:

0
4
8
12
16
20
24

Multiples of 6:

0
6
12
18
24
30
36

12, 24, 36... are common multiples of 4 and 6.

3 — Least Common Multiple

The first positive common multiples of 4 and 6 are:

12
24
36
48

The smallest one is 12.

LCM(4,6) = 12
⭐ Definition The Least Common Multiple of two non-zero natural numbers is their smallest non-zero common multiple.
4 — First method: list the multiples

Find LCM(8,12).

Multiples of 8:

8
16
24
32
40
48

Multiples of 12:

12
24
36
48
LCM(8,12) = 24
5 — The steps
1
List multiples of the first number.
2
List multiples of the second number.
3
Choose the smallest positive common multiple.
⚠ Be careful Zero is a multiple of every number, but the LCM is the smallest common multiple different from zero.
6 — Important special case

Find LCM(6,24).

24 = 6 × 4

24 is already a multiple of 6.

LCM(6,24) = 24
⭐ Useful rule If one number is a multiple of the other, their LCM is the larger number.
7 — Using prime factorization

Find LCM(18,24).

18 = 2 × 32

24 = 23 × 3

For the LCM, we need all necessary prime factors with their greatest exponents.

8 — Take the greatest exponent
18 = 21 × 32

24 = 23 × 31

For 2, the greatest exponent is 3.

For 3, the greatest exponent is 2.

LCM(18,24)
= 23 × 32
= 72
⭐ Rule Take all common and non-common prime factors using the greatest exponent of each.
9 — When do we use the LCM?

Two light signals start at the same time.

The first flashes every 8 seconds and the second every 12 seconds.

When will they flash together again?

LCM(8,12) = 24
✓ Answer They will flash together again after 24 seconds.
Your turn — 12 exercises
🟢 Exercise 1

What is the smallest positive multiple of 7?

🟢 Exercise 2

LCM(2,3) = ?

🟢 Exercise 3

LCM(4,6) = ?

🟢 Exercise 4

LCM(5,10) = ?

🟡 Exercise 5

LCM(8,12) = ?

🟡 Exercise 6

LCM(9,15) = ?

🟡 Exercise 7

LCM(7,28) = ?

🟡 Exercise 8

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²

Find LCM(12,18).

🟠 Exercise 9

20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5

Find the LCM.

🟠 Exercise 10

24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²

Find the LCM.

🟠 Exercise 11

One bus arrives every 12 minutes and another every 18 minutes. They arrive together now. After how many minutes will they arrive together again?

🔴 Exercise 12 — Challenge

Three signals start together. They repeat every 6, 8 and 12 seconds. After how many seconds will all three occur together again?